Позином

Позином это расширение понятия полином как суммы мономов с помощью расширения понятия моном. Из свойств таких обобщённых мономов следует ограничение области определения функции, задаваемой позиномом, на строго положительные значения.

Определение

Позином — обобщённый полином вида

[math]\displaystyle{ g(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}u_{i}(x) = \sum\limits_{i=1}^{n}c_{i}\prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{ij}},\quad x_j\gt 0,\ c_i\gt 0, \ a_{ij}\in \mathbb{R}. }[/math] ,

где [math]\displaystyle{ u_{i}(x),\ i= \overline{1,n} }[/math] — мономы.

Пример

[math]\displaystyle{ g(x) = 0.25x^{4} + x^{-1.5} + 2x^{9}. }[/math]

Свойства

• если [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] — позином, [math]\displaystyle{ \lambda \gt 0 }[/math] — константа, то [math]\displaystyle{ \lambda g(x) }[/math] — позином,
• если [math]\displaystyle{ f(x), g(x) }[/math] — позиномы, то [math]\displaystyle{ f(x)+g(x) }[/math] — тоже позином,
• если [math]\displaystyle{ f(x), g(x) }[/math] — позиномы, то [math]\displaystyle{ f(x) g(x) }[/math] — тоже позином.

Таким образом, множество позиномов является, как и множество полиномов, кольцом.

Поскольку мономы - частный случай позиномов, множество позиномов является, также, алгеброй над кольцом полиномов.

• если [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] — позином, [math]\displaystyle{ u(x) }[/math] — моном, то [math]\displaystyle{ g(x)/u(x) }[/math] - позином,
• если [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] — позином, то [math]\displaystyle{ {g(x)}^k\ (k\gt 0, }[/math] целое[math]\displaystyle{ ) }[/math] — позином.

Приложения

Позиномы являются базовым понятием в геометрическом программировании. С помощью позиномов описываются и решаются задачи из широкого круга математических проблем, в частности к нему относятся: оптимальное планирование, оптимальное управление, экономические задачи и расчёт рисков, кодирование и др.

Литература

• Р. Даффин, Э. Питерсон, К. Зенер. Геометрическое программирование. — М.: Мир, 1972. — 311 с.